Ünlü evrim biyoloğu Richard Dawkins diyor ki: “Maymunlara benzediğimizi kabul ederiz. Ancak, maymun olduğumuzu nadiren kabulleniriz. ”
Bir önceki PANORAMA Khas sayısında öyküsünü anlattığım n sayısı gibi, üstel fonksiyonlarda taban olarak gözüken e sayısı da irrasyonel ve aşkın bir sayıdır. Diğer bir deyişle, değerini yaklaşık olarak e = 2.718281828459 verebileceğimiz bu sayıyı iki tamsayının oranı olarak ifade etmek mümkün değildir. Dahası, sonlu sayıda cebirsel işlemle de elde edilemez.
Bir maymun olmanın da ötesinde, inşam bir hayvan olarak, ama farklı bir hayvan olarak kategorilendiren onlarca söz vardır. ‘İnsan düşünen hayvandır”, “insan sosyal bir hayvandır”, “insan alet yapan hayvandır” gibi örnekler bunların en bilinenlerindendir kuşkusuz. Yine de benim için, insanı hayvandan ayıran temel özelliklerin başında üretici olması gelmiştir. Yani, “İnsan üreten hayvandır.”
Üretim ve mühendislik
Üretimi ise, bazı filozoflar en kısa yoldan, insanın doğayı dönüştürmesi olarak tanımlarlar. Kumu ve taşlan, tuğlaya ve çimentoya, onları da binalara dönüştürürüz. Ormandaki ağacı kesip biçimlendirerek, reçinesini işleyerek, cilalı masalara dönüştürürüz. Zihinsel etkinliklerimizi düzenleyerek; algoritmalara, bilgisayar programlarına, adeta düşünebilen makinaların yapay zekalarına dönüştürürüz. Dahası, bütün dönüştürme süreçlerinin sadece doğayı değil, dönüştüreni de dönüştürdüğü ve değiştirdiği hepimizin malumudur.
Üretimin gelişmesi, bu gelişmeyle beraber karmaşıklaşması sonucunda, modernleşen toplumlarda bilimin üretim için en önemli altyapı olma özelliğini kazandığım görüyoruz. Kısaca, “bilimin üretime uygulanması” olarak tanımladığımız mühendislik de zaten modernleşmenin bu aşamasında ortaya çıkıyor. Doğayı dönüştürme ve değiştirme sürecinin göbeğinde ise bu süreç için en yaşamsal mühendislik gereci yer alıyor: Modelleme.
Bir köprü yapacaksanız ve tasarladığınız köprünün kaç insan veya araba taşıyacağını bilmek istiyorsanız, bunu köprüyü yapıp üzerine çökene kadar insan veya araba yığarak ve deneyerek (ve dolayısıyla, yanılarak) bulmaya çalışmanız pek akıllıca olmaz. Bunun yerine, köprünün matematiksel bir modelini çıkarmak, yani, köprünün çeşitli noktalarında uygulanacak kuvvetlerin, istediğiniz diğer bir noktadaki baskı ve gerilmeleri hesaplamanıza olanak sağlayan bir denklemler dizisi ile çalışmak çok daha avantajlıdır. Basit bir köprüde bile bu denklemlerin üzerinden hesap yapmak çok uğraştırıcı olabilir gibi bir endişeye kapılmayın; çünkü günümüzde bilgisayarlar bu hesaplan sizin için çok hızlı olarak halledecekler ve hatta isterseniz size sonuçlan en çarpıcı ve çekici görsel unsurlarla raporlayacaklardır.
Modelleme şart
Görülüyor ki, matematiksel modelleme, yani doğadaki değişimlerin matematiksel betimlemesi, üretimin olmazsa olmazıdır. İnsanoğlunun doğadaki değişimleri kontrol edebilmesi, söz konusu değişen fiziksel büyüklüklerin zaman içindeki evrimini saptamasını sağlayacak matematiksel modeller gerektirir. Fiziksel büyüklükleri, kendi değişim hızlan ile ilişkilendiren bu tür modelleri ifade eden denklemlere matematikte, diferansiyel denklemler adı verilir.
Bu bağlamda, düşünülebilecek en basit ilişki bir fiziksel büyüklüğün değişme hızının kendisine eşit veya orantılı olmasıdır, örneğin, dibinde delik olan bir tankın içinde ne kadar çok su varsa bu su o kadar hızlı boşalır. Yani tankın içindeki suyun hacminin azalma hızı o hacimle orantılıdır. Benzer şekilde, bir radyoaktif kütle ne kadar fazlaysa, o kadar hızlı bozunur ve azalır. Tüm bu tür örneklerde ilgili fiziksel büyüklüğün birimini uygun şekilde seçerek, orantı olarak gözüken ilişkileri tam eşitliğe dönüştürmek de mümkündür.
Peki, bu tür bir eşitliği sağlayan bir büyüklüğün değişimi zamana bağlı olarak nasıl gösterilebilir? Matematiksel terimlerle ifade edersek, türem (değişme hızı) kendisine eşit olan fonksiyon hangisidir? İşte bu sorunun yanıtı olarak karşımıza, zamanı belirten t değişkeninin sabit bir sayının üssü olarak belirdiği, d gibi bir fonksiyon çıkıyor. Bu fonksiyon, üstel fonksiyon olarak adlandırılır.
Bir önceki PANORAMA Khas sayısında öyküsünü anlattığım π sayısı gibi, üstel fonksiyonlarda taban olarak gözüken e sayısı da irrasyonel ve aşkın bir sayıdır. Diğer bir değişle, değerini yaklaşık olarak I = 2.718281828459 verebileceğimiz bu sayıyı iki tamsayının oram olarak ifade etmek mümkün değildir. Dahası, sonlu sayıda cebirsel işlemle de elde edilemez.
Yatırımcılar ve kumarbazlar
Mühendislik ve teknoloji dünyasını bu kadar yakından ilgilendiren ve doğanın betimlenmesinde kendisine bu kadar temel bir rol verilmiş olan bu sayının ilk farkına varılması 17. yüzyılda olmuştur.
Logaritmayı bulan kişi olarak tarihe geçmiş olan matematikçi ve astronom John Napier, e sayısını bazı hesaplarında kullanmıştır. Yine de, doğrudan bu sayı üzerinde fazla durmamış olduğu anlaşılıyor. Yukarıda anlattığımız anlamda, matematiksel modelleme amacıyla e’yi ilk kullanan, bir anlamda e’yi keşfeden, İsviçreli matematikçi Jacob Bernoulli’dir. Bernoulli, birçok ünlü matematikçi yetiştirmiş olan bir ailenin ilk kuşağındandı. Bir faiz problemini çözmeye çakşırken, karşısına çıkan V sayısını farketmişti. Olay şöyle bir beyin fırtınası olarak gelişmiş olabilir:
Yatırımcı olarak elimizde bir miktar para olsun. Hesaplama basitliği açısından 1 lira diyelim. Yine işimizi kolaylaştırmak için bankanın da 0 faiz verdiğini varsayalım. Paramızı bankaya senelik vadeyle yatırırsak bir yıl sonra 1 + 1 = 2 liramız olacaktır. Ama, faiz altı ay üzerinden %50 olarak işlenirse, bir yıl sonra paramızın (1 + 0.5)2 = 2,25 lira olduğunu görürüz. Üç ayda bir %25 faiz veren bir hesapta ise, bir yıl sonra (1 + 0.25)4, yani tam olarak, 2,44140625 liramız olacaktır. Haftalık vadede, bir yıl 52 hafta olarak kabul edilirse, bu hesabı (1 + l/52)52 olarak yapmak gerekir ki, bu da bize bir sonraki yılda mevduatımızın 2,6925 liraya ulaşacağım gösterir. Bernoulli, bu şekilde hem vade süresinin hem de faiz oranının aynı oranda giderek daha fazla küçültülmesi durumunda, bir yıl sonraki birikimin sabit bir sayıya yakınsadığım fark etmişti. Tahmin edeceğiniz gibi, bu sayı V sayışıydı.
Aslında e sayısı, çok değişik alanlarda ve adeta beklenmedik şekilde karşımıza çıkı verir. Örneğin, kumar makineleri... Diyelim, bir gün yolunuz Monte Carlo’ya düştü ve neredeyse tüm turistlerin uğramadan geçmediği ünlü kumarhanede buldunuz kendinizi. Her ne kadar olasılık derslerinde hocanızın “Kazancım ortalama olarak en büyükleme istiyorsan oynaman gereken miktar 0 liradır.” dediğini hatırlıyor olsanız da, bir hovardalık edip, (yine, hesap yuvarlak olsun diye) 1 Avro’nuzu makinelerde feda etmeye karar verdiniz. Doğru ya, bir ümit: “Ya kazanırsanız?..” Yine diyelim ki, içeride değişik türde makineler var. Salonun başından itibaren dizilmiş makinelerin herbiri numaralanmış. Numarası n olan makinenin kazandırma olasılığı 1 /», ve tabii ‘adil’ bir oyun olması için size attığınız paranın n katım verecek. Ama her makinede kolu çekmek için 1 /n Avro atmanız gerekiyor. Dolayısıyla, en fazla 1 Avro harcamaya kararlı olduğunuz için toplam n tane hakkınız olacak. Eğer bir sefer kazanırsanız, kâra geçtiniz demektir ve o anda başka bir oyun oynamadan kumarhaneyi servetinizi artırmış olarak terk edeceksiniz.
Mantıklı bir strateji olarak görünüyor. Peki kaybetme olasılığınız nedir? Kolu bir defa çektiğinizde, o oyunu kaybetme olasılığınız (l-l/n)’dir. Eğer üçüncü makinede oynuyorsanız, tüm servetinizi kaybetmek için 3 defa başarısızlığa uğramanız gerekir. Bu durumda, kaybetme olasılığınız (2/3)(2/3)(2/3) = 0,296 olur. Onuncu makinede ise, bu olasılık tam olarak (1-1/10)10 = 0,3486784401 olacaktır. Yüzüncü makineye kadar yürüyüp şansınızı orada denerseniz, yaklaşık olarak (İ-I/IOO)100 = 0,366 olasılıkla 1 Avro’nuz uçup gitmiş olacak. İşte böyle makineler boyunca sonsuza doğru ısrarla ilerlediğiniz de ise kaybetme oranınız 1/ı’ye yaklaşacaktır. Üstel fonksiyonlarla bağlantısı doğrudan gözükmeyen, böyle olasılıkla ilgili bir düşünce deneyinde de V sayısı karşımıza çıkabiliyor.
“Euler, everywhere”
Bu ilginç sayının isim babası ise, matematiğin birçok alanında adı anılmadan geçilmeyen ünlü İsviçreli matematikçi Leonhard Euler’dir. Başka matematikçilerin zaman zaman b veya c gibi harflerle andıkları bu sayı için Euler, ilk defa İ728’de V sembolünü kullanmış ve bu sembol 1736’da yayınladığı Mechanica adlı eserinde yoğun olarak yer almıştır. Matematikçilerin bu sembolü benimsemelerinde, kuşkusuz, bu ünlü matematik dahisinin adının baş harfinin ‘e’ olması da rol oynamıştır. Dahası, doğayı betimlememizin temelindeki bu sayı Euler Sayısı olarak da bilinir.
Sayıyı olabildiğince hassas olarak hesaplamayı ilk olarak uğraş edinen de Euler olmuştur ve 1748 yılında V sayısının ilk 23 basamağım bulmuştur. 20. yüzyılın başına kadar, V sayısı birkaç yüz basamaklık hassasiyetle hesaplanabilmişim İlk bilgisayarı (Electronic Numerical Integrator and Computer, ENIAC) kullanarak John von Neumann, 1948 yılında, 2010 basamağım hesaplayarak Vnin hesaplanmasında bilgisayar devrini açmıştır. Bugün V, bir trilyon basamağın ötesinde bir kesinlikle hesaplanmış durumda. Bu da, sanırım, insan için “e sayısını en kesin olarak hesaplayan hayvandır” tanımım haklı çıkarmaya yeterlidir.