Son birkaç senedir dikkatinizi çekmiş olabilir; üçüncü ayın ondördü, Günü’ olarak kutlanıyor. Amerika’da ilk kez 1988 yılında kutlanan n Günü’nde, ülkemizde de 2007 yılından beri liselerde ve üniversitelerde çeşitli etkinlikler yapılıyor, n logolu tişörtler, pastalar hazırlanıyor, yarışmalar düzenleniyor. Gelin biz de, bu sayı ile ilgili birkaç ilginç noktayı bir kez daha beraberce anımsayalım.
Tanımı çok basit: Çember uzunluğuyla çap arasındaki oran. Gelin görün ki, bu kadar basitçe tanımlanabilen bir sayı insan zihnine ne kadar da uzun süreli ve derin bir meşgale yaratmıştır. Yüzyıllar boyunca insanlar, pi’nin tam değerini bulabilmeyi kendilerine iş edinmişler; bu konudaki çabaların sonunun gelemeyeceğini anladıklarında da, “Olsun, sonuna kadar gidemesem de, bakalım benden öncekileri geçebilecek miyim?” dercesine daha da yoğun bir uğraşa girişmişlerdir.
BENİM ADIM "PI"
Bu çabaların tarihsel gelişimini özetlemeden önce, adına bakalım. İnsanoğlu çemberle çap arasındaki oranın sabit olduğunu binyıllar önce farketmiş olmasına rağmen, bu oranın adı konusunda ancak son birkaç yüzyıldır fikir birliği vardır. Bu bağlamda 1706 yılında adını ilk defa kullanan kişi Galli matematikçi William Jones’tu. Jones, önceleri ticaretle uğraşırken sonraları hayatını matematik öğretmenliği ile kazanmış ve hatta kariyerinin ileriki dönemlerinde Royal Society’de başkan yardımcılığı da yapmıştı. O devirlerde, ‘perimeter’ çember uzunluğu anlamında kullanılıyordu. Jones da bu sözcüğünün baş harfinin Yunan abecesindeki karşılığını çember/çap oranını temsil etmesi için önermişti.
Ancak, bu işler sadece önermekle olmuyor tabii. Önerinin hayata geçirilmesi gerekiyor. Bunu yapabilecek kişi de, Jones’un bu önerisinden bir yıl sonra dünyaya gelmiş olan Leonhard Euler’di. Aslen İsviçreli olan ama akademik yaşamının büyük bir kısmım Sen Petersburg ve Berlin’de geçirmiş olan Euler, matematik tarihinin en üretken dahilerindendir. Toplam yayın sayısı 886’dır. Hani bugün yaşasaymış, doçent olabilmesi için gerekecek yayınlan her yıl yeniden üretiyor olacakmış! Analiz, sayı kuramı, topoloji, çizge kuramı, müzik matematiği, mekanik, astronomi gibi birçok alanda bilime katkıda bulunmuş olan Euler’in pi ile ilgili de söyleyecek çok şeyi olmuştu. Kuşkusuz, pi, adının olmasını Euler’e borçludur.
“BU SAYI AŞMIŞ, YA...”
Tarih boyunca, pi’nin giderek daha çok basamağı hesaplanırken, bir yandan da kuşkular beliriyordu. Acaba bu işin sonu var mıydı? Yani, pi’yi sonlu sayıda basamak ile, ya da hiç olmazsa sonlu sayıda basamağı olan iki (tam) sayının oram olarak, ifade etmek mümkün olamayacak mıydı? Aslında, Jones da bu sayıyı ifade etmeye rakamların yetmeyeceğini düşünenlerdendi ve çok yaklaşılsa bile tam olarak ulaşılamayacak bu idealin özel bir sembolle gösterilmesi gerektiğini düşünerek ‘pı’ adını önermişti. Ancak, pi’nin irrasyonelliğini (yani iki tamsayının oranı olarak yazılamayacağını) kanıtlamak 176l’de İsviçreli bir başka matematikçiye, Johann Heinrich Lambert’e nasip olacaktı. Böylece, pi’nin değerini bütün basamaklarıyla hesaplamanın boş bir hayal olduğu kesinkes anlaşılmıştı.
Aradan bir asırdan fazla bir süre geçtikten sonra da, 1882’de, Cari Louis Ferdinand von Lindemann, pi’nin daha da ilginç bir özelliğini gösterdi ve adeta herkese “Bu sayı aşmış ya!..” dedirtti: Evet, irrasyonelliği yetmezmiş gibi, aynı zamanda aşkın (ing. trancendmtal) bir sayıydı. Yani, iki tamsayının oranı olarak yazılabilmesinden vazgeçtik; sayısı, rasyonel sayıların kullanıldığı sonlu sayıda cebirsel işlemle bile ifade edilemiyordu. Bu anlamda, pi, diğer bazı sıradan irrasyonel sayılardan da (örneğin, 2 gibi)1 ayrılıyordu.
BİR SANDVİÇ YAPALIM
Bir bardak, biraz ip ve bir cetvel yardımıyla, pi’nin değerinin 3’den biraz fazla olduğu kolayca görülebilir. Ne var ki, Tevrat’ta (Krallar; 7. bölüm, 23. ayet) “Hiram, dökme tunçtan on arşın çapında, beş arşın derinliğinde, çevresi otuz arşın, yuvarlak bir havuz yaptı” ayetinde, bu biraz fazlalığın göz ardı edildiğini görüyoruz. Birçok kişi tarafından bu, Kutsal Kitap olma iddiasıyla ortaya çıkan bir eser için, önemli sayılabilecek bir hata olarak görülmüştür. Kaldı ki, Tevrat’ın yazıldığı Î.Ö. 5-6. yüzyıllardan çok daha önceleri, I.ö. 1650’de, Mısır’da, pi’nin değerinin 256/81 (= 3,16049) olarak verildiği metinler vardı.
Eski Yunan’da ise, geometri alanındaki buluşların, pi’nin hesaplanmasında kullanıldığını görüyoruz. Bir dairenin alanının, içine çizilen düzgün çokgenlerin alanlarının hesaplanarak yaklaşık olarak bulunabileceği fikri ilk defa Heraclea’k Antiphon (~1.Ö. 400) tarafından ortaya atılmıştı. Örneğin bir altıgenle başlayıp, çokgenlerin kenar sayılarının her seferinde iki katma çıkarılmasını sağlayan bir yöntemle, daire alanı oldukça hassas bir ölçümle belirlenebilirdi. Çağdaşı olan Bryson, bu fikri bir adım öteye taşıyarak, çokgenleri dairenin hem içine hem de dışına çizerek, bir tür ‘sandviç yöntemi’ önermişti. Ancak, alan hesabı uzunluk hesabına göre daha zordu kuşkusuz. Siracusa’h Archimedes, bunu görmüş; Antiphon ve Byron’dan 200 yıl kadar sonra çokgenlerin çevrelerini ölçerek, çember/çap oranının 3 1/7 ile 3 10/71 arasında olduğunu bulmuştur. Bu iki değerin ortalaması, pi’yi binde birin ötesinde bir doğrulukla vermektedir.
Öte yandan, daireyi çokgenlerle yaklaştırma yöntemi Çin’de Î.S. 3. yüzyıl’da Liu Hui tarafından yeniden keşfedilmiştir. Hui, 192 kenarlı bir düzgün çokgen üzerinden ti için 3,1416 değerini bulmuştu. 5. yüzyılda yaşamış olan Çinli astronom Tsu Keng- Chih ise, önce bir altıgenle başlayıp, 12 kez üst üste kenar sayısını iki katma çıkararak, sonunda 24576 kenarlı bir çokgene ulaşmış ve çevre uzunluğunu kullanarak pi için 355/113 (yaklaşık 3,1415929) değerini bulmuştu. Bu sayının, pi’nin bugün bilinen değerinden farkı on milyonda birden daha azdır. Guiness o devirlerde rekorlar kitabı yayınlıyor olsa idi, bin seneden fazla bir süre Keng-Chih’e kitabında yer verecekti.
HASTA SİEMPRE! (SONSUZA KADAR)
Viete’nin bu buluşu ile, adeta çokgen sandviçleri devri kapanmış; sonsuz çarpımlar devri başlamıştı. Gerçi, pi’nin az sayıda basamağı için bile giderek karmaşıklaşan kareköklerin hesaplanması gerektiği için, Viete’nin formülü çok da kullanışlı değildi. Ama olsun, bir kere yol açılmıştı ya... Üstelik, matematiksel analizin (ing. calculus) de gelişmesiyle sandviçler çeşitlendirilebiliyor ve hesaplanmaları çok daha kolay oluyordu. Artık, amaç sadece daha fazla basamak hesaplamanın ötesinde, belli bir sayıda basamağı en az sayıda terim ile üretebilecek formüller bulmaktı. Bunların arasında en hızlı yakın sayanlardan olmasa da, en çok bilinenlerinden biri de John Wallis’in (1616-1703) formülüdür.
James Gregory, Gottfried Wilhelm Leibnitz, Isaac Newton gibi matematik tarihinin birçok ünlü ismi, kendi türettikleri formüllerle pi’nin hesaplanmasına katkıda bulunmuşlardır. Tabii yine de, bu konuda, çok sayıda formül, sonsuz seri ve çarpım üreten Euler açık ara öndedir.
BİLGİSAYAR İCAT OLDU, MERTLİK BOZULDU
20. yüzyıl ortalarına doğru, pi sayısı 800 basamak olarak hesaplanabiliyordu. Üstelik de, o zamanlar, masaüstü hesap makinelerinin yardımıyla, bu işi sadece (!) birkaç ayda yapabiliyordunuz. Ama, 1948 yılında pi’nin hesaplanmasında çığır açacak bir şey oldu, insanoğlu (biraz daha detaya inersek, Amerikalılar) ENIAC’ı (Electronic Numerical Integrator and Computer) yaptı. Bu ilk, programlanabilir, elektronik bilgisayar sayesinde 1948 yılında, pi sayısının ilk 2037 basamağı sadece 70 saat içerisinde (ki, buna kart delme süresi dahildir) hesaplanmıştı. Iş sayılan çatırdatmaya gelince bilgisayarlar daha ilk adımda insanoğluna fark atmışlardı. Bilgisayarlar sayesinde hesaplama karmaşıklığı sorun olmaktan çıkınca, artık matematikçiler de hesaplanan basamak sayısının en hızlı nasıl arttırılabileceği üzerinde kafa yormaya başlayacaklardı.
PEKİ NİÇİN?
Günümüzde, pi sayının 10 trilyon basamağı hesaplanmış durumda. Aslında, evrenin çapını, bir hidrojen atomun çapından daha az bir yanılgı ile bulabilmek için pi sayının ilk 40 basamağı yeter de artar bile. “Öyleyse, niye uğraşıyorlar?” Takdir edersiniz ki, bu basmakalıp soru bugüne kadar insanoğlunun pek çok çabası için ortaya atılmıştır. Basmakalıp yanıtlar arasında bana en mantıklı gelen de, Louis Armstrong’un cazın ne olduğunu soranlara verdiği karşılıktır: “Bunu sorma gereği duyuyorsanız, cevabını hiçbir zaman bilemeyeceksiniz demektir.”